POPULASI, SAMPLE, DATA, TABEL DAN GRAFIK

A. Populasi

Populasi adalah wilayah generalisasi yang terdiri atas: objek/subjek yang mempunyai kualitas dan karakteristik tertentu yang ditetapkan oleh peneliti untuk dipelajari dan kemudian ditarik kesimpulannya. Jadi populasi bukan hanya orang, tetapi juga objek dan benda-benda alam yang lain. Populasi juga bukan sekedar jumlah yang ada pada objek/subjek yang dipelajari, tetapi meliputi seluruh karakteristik/sifat yang dimiliki oleh objek/subjek itu.

Misalnya akan melakukan penelitian di sekolah X, maka sekolah X ini merupakan populasi. Sekolah X mempunyai sejumlah orang/subyek dan obyek yang lain. Hal ini berarti populasi dalam arti jumlah/kuantitas. Tetapi sekolah X juga mempunyai karakteristik orang-orangnya, misalnya motivasi kedanya, disiplin kedanya, kepemimpinannya, iklim organisasinya dan lain-lain; dan juga mempunyai karakteristik obyek  yang lain, misalnya kebijakan, prosedur keiJa, tata rangkelas, lulusan yang dihasilkan dan lain-lain, Yang terakhir berarti populasi dalam arti karakteristik.

Satu orang-pun dapat digunakan sebagai populasi, karena sate brang itu mempunyai berbagai karakteristik, misalnya gaga bicaranya, disiplin pribadi, hobi, cara bergaul, kepemimpinannya dan lain-lain. Misalnya akan melakukan penelitian tentang kepemimpinan presiden Y maka kepemimpinan itu merupakan sampel dari semua karakteristik yang dimiliki presiden Y.

Dalam bidang kedokteran, satu orang sering bertindak sebagai populasi. Darah yang ada pada setiap orang adalah populasi, kalau,akan diperiksa cukup diambil sebagian darah yang berupa sampel. Data yang diteliti dari sampel tersebut selanjutnya dibertakukan ke seluruh darah yang dimiliki orang tersebut.

Populasi bisa juga didefinisikan wilayah generalisasi yang terdiri atas objek/subjek yang mempunyai kualitas dan karakteristik tertentu yang ditetapkan oleh peneliti untuk dipelajari dan kemudian ditarik kesimpulannya Sedang sampel adalah bagian dari jumlah dan karkateristik yang dimiliki oleh populasi tersebut (Sugiono,2006:90).

B. Sampel

Sampel adalah bagian dari jumlah dan karakteristik yang dimiliki oleh populasi tersebut. Bila populasi besar, dan peneliti tidak mungkin mempelajari semua yang ada pada populasi, misalnya karena keterbatasan dana, tenaga dan waktu, maka peneliti dapat menggunakan sampel yang diambil dari populasi itu. Apa yang dipelajari dari sampel itu. kesimpulannya akan dapat diberlakukan populasi. Untuk itu sampel yang diambil dari populasi harus betul-betul representatif (mewakili).

Bila sampel tidak representatif, maka ibarat orang buta disuruh menyimpulkan karakteristik gajah. Satu orang memegang telinga gajah, maka la menyimpulkan gajah itu seperti kipas. Orang kedua memegang badan gajah, maka ia menyimpulkan gajah itu seperti tembok besar. Satu orang lagi memegang ekornya, maka la menyimpulkan gajah itu kecil seperti seutas tali. Begitulah kalau sampel yang dipilih tidak representatif, maka ibarat 3 orang buta itu yang membuat kesimpulan salah tentang gajah.

Untuk menentukan sampel dari populasi digunakan perhitungan maupun acuan tabel yang dikembangkan para ahli.  Secara umum, untuk penelitian korelasional jumlah sampel adalah 30, sedangkan dalam penelitian eksperimen jumlah sampel minimum 15 dari masing-masing kelompok dan untuk penelitian survey jumlah sampel minimum adalah 100.

Besaran atau jumlah sampel ini sampel sangat tergantung dari besaran tingkat ketelitian atau kesalahan yang diinginkan peneliti. Namun, dalam hal tingkat kesalahan, pada penelitian sosial maksimal tingkat kesalahannya adalah 5% (0,05). Makin besar tingkat kesalahan maka makin kecil jumlah sampel. Namun yang perlu diperhatikan adalah semakin besar jumlah sampel (semakin mendekati populasi) maka semakin kecil peluang kesalahan generalisasi dan sebaliknya, semakin kecil jumlah sampel (menjauhi jumlah populasi) maka semakin besar peluang kesalahan generalisasi.

Teknik Pengambilan Sample

1. Sampel Random

Cara atau teknik ini dapat dilakukan jika analisis penelitiannya cenderung deskriptif dan bersifat umum. Perbedaan karakter yang mungkin ada pada setiap unsur atau elemen  populasi tidak merupakan hal yang penting bagi rencana analisisnya. Misalnya, dalam populasi ada wanita dan pria, atau ada yang kaya dan yang miskin, ada manajer dan bukan manajer, dan perbedaan-perbedaan lainnya.  Selama perbedaan gender, status kemakmuran, dan kedudukan dalam organisasi, serta perbedaan-perbedaan lain tersebut bukan merupakan sesuatu hal yang penting dan mempunyai pengaruh yang signifikan terhadap hasil penelitian, maka peneliti dapat mengambil sampel secara acak sederhana. Dengan demikian setiap unsur populasi harus mempunyai kesempatan sama untuk bisa dipilih menjadi sampel. Prosedurnya :

    1. Susun “sampling frame”
    2. Tetapkan jumlah sampel yang akan diambil
    3. Tentukan alat pemilihan sampel
    4. Pilih sampel sampai dengan jumlah terpenuhi

2. Sampel Sistematis

Teknik ini digunakan apabila (1) bisa disusun kerangka sampling yang lengkap dan (2) keadaan variabel yang diteliti relatif  homogen dan tersebar di seluruh populasi. Pemilihan satuan pengamatan kedalam sampel dengan menggunakan SyRS bisa dilakukan melalui dua pendekatan, yaitu (1) Linear systematic selection (LSS) dan (2) Circular systematic selection (CSS).

a. LSS

Langkah kerja:
1.  Tentukan populasi sasaran dan tentukan satuan-satuan samplingnya yang menunjukkan ukuran populasi sasaran, misalnya N=1500
2.  Susun kerangka sampling
3.  Tentukan ukuran sampel, misalnya n=20
4.  Sediakan tabel angka random
5.  Proses pemilihan 20 dari 1500 satuan samplingnya adalah sebagai berikut:
a.  Tentukan interval pemulihan dengan rumus : I = N/n =1500/20 = 75
b.  Tentukan secara random sebuah bilangan acak (disebut rendom start (RS) atau random seed) yang besanrnya memenuhi persyaratan 1< RS < I, atau untuk contoh 1< RS < 75. Misalnya terpilih angka random 07 (baris ke2, kolom ke1 dan 2 pada tabel angka acak).  Oleh karena nomor satuaan pengamatan pada kerangka samplingnya terdiri dari 4 digit (0001 sampai 1500), maka SR=0007.  RS ini merupakan satuan sampling pertama yang terpilih.
c.  Satuan pengamatan berikutnya dipilih dengan cara menambahkan I=75 kepada nomor terpilih.  Jadi satuan pengamatan yang terpilih kedua adalah 0007 + 75 = 0082, ketigaadalah 0082 + 75 = 0157, demikian seterusnya sampai terpilih sebanyak 20 satuan pengamatan

b. CSS

Langkah kerja:
1.  Tentukan populasi sasaran dan tentukan ukuran populasi, misalnya N=2111
2.  Untuk setiap satuan sampling yang ada dalam populasi sasaran disusun dalam kerangka sampling
3.  Tentukan ukuran sampel (dengan menggunakan  rumus atau pertimbangan tertentu),misalnya n= 13
4.  Sediakan tabel angka random
5.  Proses pemilihan 13 dari 2111 satuan sampling, yaitu:
a.  Tentukan interval (I) dengan rumus I = N/n.  Bulatkan ke bilangan bulat terdekat,yaitu 2111/13 = 162
b.  Dari tabel angka acak dipilih RS yang memenuhi persyaratan 1 < RS < N, misalnya terpilih RS=1842.  RS ini adalah satuan pertama yang terpilih ke dalam sampel
c.  Satuan sampling berikutnya dipilih dengan cara menambahkan I secara sistematik kepada RS, yaitu:
1.  1842

3. Sampel Bertingkat

Metode ini dapat dipakai apabila jumlah populasi yang diamati besar dan bersifat homogen. Cara ini dapatdilakukan untuk daerah yang sangat luas. Keuntungan cara ini adalah biaya transportasi sangat kecil.Adapun yang menjadi kerugian dari pemakaian cara ini adalah perlu kecermatan dalam pengambilansampel karena sifatnya yang banyak.

Sifat homegintas populasi kadang tidak bisa dijamin sepenunya di lapangan.  Semakin tinggi tingkat keragaman (heterogenitas) populasi maka ukuran sampel yang harus diambil dengan sampel bertingkat akan semakin besar untuk tingkat ketelitian tertentu.  Masalah ini bisa diatasi dengan membuat sub-sub populasi yang bersifat homogen dan terhadap subpopulasi itulah proses pengambilan sampel secara SRS dilakukan.   Proses pengambilan sampel setelah populasi keseluruhan yang relatif heterogen dipilah-pilah ke dalam sub populasi.  Jadi langkah utama yang membedakan teknik ini dengan teknik pengambilan sampel bertingkat adalah proses pembentukan sub populasi, disebut strata.  Sedangkan proses pemilihan dari setiap strata tersebut  bisa dilakukan sama seperti proses pemilihan satuan sampling dengan teknik pengambilan sampel bertingkat.  Langkah kerja selengkapnya adalah sebagai berikut:

  1. Tentukan populasi sasaran dan tentukan anggota populasi secara keseluruhan (N)
    Berdasarkan variabel tertentu (kriteria tertentu), populasi dibagi ke dalam strata-strata.
  2. Misal kelompok responden dibagi sesuai jenis kelamin (laki atau perempuan) jika secara teoritis respon akan berbeda karena perbedaan jenis kelamin, atau populasi perusahaan dibagia menjadi sub populasi perusahaan kecil, menengah, dan besar
  3. Satuan sampling untuk setiap strata didaftar sehingga diperoleh kerangkan sampling untuk masing-masing strata (N1, N2, dan seterusnya untuk setiap strata ke i) dimana N = N1 + N2 + … + Ni
  4. Dari sebuah populasi selanjutnya kita menentukan ukuran sampel keseluruhan yang disebut overall sample size.
  5. Ukuran sampel sebesar n selanjutnya  dialokasikan kesetiap strata (n1, n2, dan seterusnya) dimana n = n1 + n2 + …. + ni.  Penyebaran ini disebut alokasi sampel yang bisa dilakukan dengan 4 cara yaitu:
    1. Alokasi sembarang dimana ukuran sampel  masing-masing strata ditentukan secara sembarang dengan syarat minimal dari sebuah strata adalah harus ada dua satuan pengamatan yang dipilih.  Dalam praktek,  alokasi seperti ini jarang dan tidak disarankan untuk digunakan karena menyebabkan standar error membesar.
    2. Alokasi sama besar tanpa melihat perbedaan ukuran masing-masing strata atau
      n1=n2=….= ni
    3. Alokasi proporsional yaitu ukuran sampel untuk setiap strata sesuai dengan proporsi ukuran strata tersebut terhadap ukuran sampel keseluruhan, misal n1=N1/N, n2=N2/N, dan seterusnya
    4. Alokasi Newton
  6. Dari setiap strata kemudian dipilih satuan  sampling melalui teknik pengambilan sampel random.  Oleh karena pemilihan satuan  sampling dari setiap strata dilakukan dengan SRS maka keseluruhan prosesnya disebut stratified random sampling.  Jika pemilihan dari setiap strata dilakukan dengan sampel sistematik maka disebut stratified systematic random sampling. Jadi teknik ini digunakan apabila (1) keadaan variabel yang kita teliti sangat heterogen sehingga menimbulkan standar error yang tinggi (atau presisi yang rendah).  Stratifikasi populasi dilakukan untuk memperbesar presisi (atau memperkecil standar error) ini, dan (2) apabila kita bisa menyusun kerangka sampling yang lengkap dan langsung mengenai satuan pengamatan.

4. Sampel Kuota

Teknik pengambilan sampel ini banyak diterapkan pada penelitian pasar dan penelitian pengumpulan pendapat (opinion poll) atau jejak pendapat.  Teknik dilakukan dengan melakukan penjatahan terhadap kelompok satuan pengamatan secara berjenjang.  Misalnya peneliti menetapkan Kuota 1 yaitu 100  orang eksekutif muda di Jakarta sebagai jumlah sampelnya.  Kuota 1 tersebut selanjutnya dikelompokkan lagi dengan Kuota 2, misalnya 50 eksekutif pria dan 50 eksekutif wanita. Demikian seterusnya pengelompokkan dilakukan sesuai dengan tujuan penelitiannya.
contoh lainya, di sebuah kantor terdapat pegawai laki-laki 60%  dan perempuan 40% . Jika seorang peneliti ingin mewawancari 30 orang pegawai dari kedua jenis kelamin tadi maka dia harus mengambil sampel pegawai laki-laki sebanyak 18 orang sedangkan pegawai perempuan 12 orang. Sekali lagi, teknik pengambilan ketiga puluh sampel tadi tidak dilakukan secara acak, melainkan secara kebetulan saja

5. Sampel Luas

Cluster sampling atau sampling area digunakan jika sumber data atau populasi sangat luas misalnya penduduk suatu propinsi, kabupaten, atau karyawan perusahaan yang tersebar di seluruh provinsi. Untuk menentukan mana yang dijadikan sampelnya, maka wilayah populasi terlebih dahulu ditetapkan secara random, dan menentukan jumlah sample yang digunakan pada masing-masing daerah tersebut dengan menggunakan teknik proporsional stratified random sampling mengingat jumlahnya yang bisa saja berbeda.

Contoh :

Peneliti ingin mengetahui tingkat efektivitas proses belajar mengajar di tingkat SMU. Populasi penelitian adalah siswa SMA seluruh Indonesia. Karena jumlahnya sangat banyak dan terbagi dalam berbagai provinsi, maka penentuan sampelnya dilakukan dalam tahapan sebagai berikut :

Tahap Pertama adalah menentukan sample daerah. Misalnya ditentukan secara acak 10 Provinsi yang akan dijadikan daerah sampel.

Tahap kedua. Mengambil sampel SMU di tingkat Provinsi secara acak yang selanjutnya disebut sampel provinsi. Karena provinsi terdiri dari Kabupaten/Kota, maka diambil secara acak SMU tingkat Kabupaten yang akan ditetapkan sebagai sampel (disebut Kabupaten Sampel), dan seterusnya, sampai tingkat kelurahan / Desa yang akan dijadikan sampel. Setelah digabungkan, maka keseluruhan SMU yang dijadikan sampel ini diharapkan akan menggambarkan keseluruhan populasi secara keseluruhan.

C. Data

PengertianData menggambarkan sebuah representasi fakta yang tersusun secara terstruktur, dengan kata lain bahwa “Generally, data represent a structured codification of single primary entities, as well as of transactionsinvolving two or more primary entities.” (Vercellis, 2009: 6). Selain deskripsi dari sebuah fakta, data dapat pula merepresentasikan suatu objek sebagaimana dikemukakan oleh Wawan dan Munir (2006: 1) bahwa“Data adalah nilai yang merepresentasikan deskripsi dari suatu objek atau kejadian (event ) “Dengan demikian dapat dijelaskan kembali bahwa data merupakan suatu objek, kejadian, atau fakta yang terdokumentasikan dengan memiliki kodifikasi terstruktur untuk suatu atau beberapa entitas.

Ada banyak pengertian tentang data, secara sederhana data adalah keterangan tentang sesuatu, berikut beberapa hal yang berkaitan dengan data:

a. Syarat Data

•Obyektif, data sesuai dengan keadaan sebenarnya atau kenyataan.

•Relevan, sesuai dengan kepentingan atau tujuan yang diinginkan.

•Standard error kecil.

b. Macam-macam data1. Berdasarkan sifatnya

•Data kwantitatif, data dalam bentuk angka atau bilangan, Contohnya; 6,4,3,4,7

•Data kwalitatif, data bukan dalam bentuk angka, tetapi dalam bentuk pernyataan dan atau kategori,Contohnya: Baik, buruk .

2. Berdasarkan sumbernya

•Data internal, data yang berasal dari dalam organisasi.

•Data eksternal, data yang berasal dari luar organisasi.

3. Berdasarkan cara memperoleh

•Data primer, data yang diperoleh dari sumber pertama/sumber data, data ini biasanya belumdiolah.

•Data sekunder, data yang diperoleh dari pihak kedua,data ini biasanya sudah dalam keadaandiolah

4. Berdasarkan cakupannya

•Data Sensus, diperoleh dari populasi.

•Data Sampel, siperoleh dari sampel.

5. Berdasarkan skala pengukurannya

•Nominal

•Ordinal

•Interval

•Rasio

D. Tabel Statistika

1. Tabel Referensi

Tabel ini memiliki karakteristik khusus yaitu tabel ini bersifat gudang seluruh data. Tabel-tabel yang umumnya terdapat pada sensus merupakan tabel referensi. Tabel ini bersifat umum sekali karena data-datanya dapat digunakan sebagai input dari analisis statistik. Contoh tabel statistik.

2. Tabel Ikhtisar

Tabel ikhtisar bisa disebut juga tabel naskah (text table). Tabel ini umumnya berbentuk singkat, sederhana dan umumnya mudah dimengerti. Fungsi tabel ini adalah memberikan gambar yang sistematis tentang peristiwa yang merupakan hasil dari penelitian atau observasi. Tabel ikhtisar biasanya diambil dari tabel referensi. Contoh tabel ikhtisar:

 3. Tabel Distribusi

Table distribusi adalah bentuk penataan data yangdibuat oleh pengolah data berdasarkan hasil-hasil data yng dikumpulkan oleh penelitian tersebut yang betujuan untuk memproleh gambaran karakteristik dari data yang akan diolah.

4. Tabel Umum

Table umum adalah bentuk penyajian data yang dikumpulkan dari bermacam-macam jenis data yang dituliskan dalam suatu monogram. Biasanya informasi ini di dikumpulkan berdasarkan sensus.

D. Grafik

1. Grafik Garis

Penyajian data statistik dengan menggunakan diagram berbentuk garis lurus. Grafik garis biasanya digunakan untuk menyajikan data statistik yang diperoleh berdasarkan pengamatan dari waktu ke waktu secara berurutan. Sumbu X menunjukkan waktu-waktu pengamatan, sedangkan sumbu Y menunjukkan nilai data pengamatan untuk suatu waktu tertentu. Kumpulan waktu dan pengamatan membentuk titik-titik pada bidang XY, selanjutnya kolom dari tiap dua titik yang berdekatan tadi dihubungkan dengan garis lurus sehingga akan diperoleh diagram garis atau grafik garis. Grafik garis adalah suatu grafik yang digmabarkan berdasarkan satu waktu, biasanya waktu yang digunakan dalam bulan atau tahun, lalu digambarkan dalam bentuk garis. Kegunaan diagram garis adalah untuk dapat melihat gambaran tentang perubahan peristiwa dalam suatu periode (jangka waktu) tertentudibuat diagaram garis. Contoh:

2. Grafik Batang

Grafik batang adalah Grafik berdasarkan data berbentuk kategori. Grafik ini banyak digunakan untuk membandingkan data maupun menunjukkan hubungan suatu data dengan keseluruhan. Grafik ini penyajianya dalam bentuk batang, sebuah batang melukiskan jumlah tertentu dari data. Contoh

Jumlah lulusan SMA X di suatu daerah dari tahun 2001 sampai tahun 2004 adalah
sebagai berikut

Nyatakan data di atas dalam bentuk diagram batang.
Penyelesaian
Data tersebut dapat disajikan dengan diagram batang sebagai berikut.

3. Grafik Lingkaran

Penyajian data dalam bentuk lingkaran didasarkan pada sebuah lingkaran yang dibagi-bagi dalam beberapa bagian sesuai dengan macam data dan perbandingan frekuensi masing-masing data yang disajikan. Contoh:

Ranah privat (pengaduan) dari koran Solo Pos pada tanggal 22 Februari 2008 ditunjukkan
seperti tabel berikut.

Nyatakan data di atas dalam bentuk diagram lingkaran.
Penyelesaian
Sebelum data pada tabel di atas disajikan dengan diagram lingkaran, terlebih dahulu ditentukan besarnya sudut dalam lingkaran dari data tersebut.
1. CPNS/Honda/GTT = 5/100 x 360° = 18°
2. Perbaikan/pembangunan/gangguan jalan = 9/100 x 360° = 32,4°
3. Masalah lingkungan/kebersihan = 6/100 x 360° = 21,6°
4. Kesehatan/PKMS/Askeskin = 3/100 x 360° = 10,8°
5. Lalu lintas/penertiban jalan = 6/100 x 360° = 21,6°
6. Revitalisasi/budaya Jawa = 20/100 x 360° = 72°
7. Parkir = 3/100 x 360° = 10,8°
8. Pekat/penipuan/preman = 7/100 x 360° = 25,2°
9. Persis/olahraga = 10/100 x 360° = 36°
10. PKL/Bangunan liar = 2/100 x 360° = 7,2°
11. PLN dan PDAM = 2/100 x 360° = 7,2°
12. Provider HP = 7/100 x 360° = 25,2°
13. Tayangan TV/radio/koran = 3/100 x 360° = 10,8°
14. Lain-lain = 17/100 x 360° = 61,2°
Diagram lingkarannya adalah sebagai berikut.

4. Poligon dan Histogram

Histogram

Dari suatu data yang diperoleh dapat disusun dalam tabel distribusi frekuensi dan disajikan dalam bentuk diagram yang disebut histogram. Jika pada diagram batang, gambar batang-batangnya terpisah maka pada histogram gambar batang-batangnya berimpit. Histogram dapat disajikan dari distribusi frekuensi tunggal maupun distribusi frekuensi bergolong. Untuk lebih jelasnya, perhatikan contoh berikut ini.

Data banyaknya siswa kelas XI IPA yang tidak masuk sekolah dalam 8 hari berurutan
sebagai berikut.

Poligon Frekuensi
Apabila pada titik-titik tengah dari histogram dihubungkan dengan garis dan batangbatangnya dihapus, maka akan diperoleh poligon frekuensi. Berdasarkan contoh di atas dapat dibuat poligon frekuensinya seperti gambar berikut ini.

contoh soal:
Hasil pengukuran berat badan terhadap 100 siswa SMP X digambarkan dalam distribusi bergolong seperti di bawah ini. Sajikan data tersebut dalam histogram dan poligon frekuensi.

Penyelesaian
Histogram dan poligon frekuensi dari tabel di atas dapat ditunjukkan sebagai berikut.

Poligon Frekuensi Kumulatif
Dari distribusi frekuensi kumulatif dapat dibuat grafik garis yang disebut poligon frekuensi kumulatif. Jika poligon frekuensi kumulatif dihaluskan, diperoleh kurva yang disebut kurva ogive. Untuk lebih jelasnya, perhatikan contoh soal berikut ini.
Hasil tes ulangan Matematika terhadap 40 siswa kelas XI IPA digambarkan dalam tabel di samping.
a. Buatlah daftar frekuensi kumulatif kurang dari dan lebih dari.
b. Gambarlah ogive naik dan ogive turun.

b. Ogive naik dan ogive turun
Daftar frekuensi kumulatif kurang dari dan lebih dari dapat disajikan dalam bidang Cartesius. Tepi atas (67,5; 70,5; …; 82,5) atau tepi bawah (64,5; 67,5; …; 79,5) diletakkan pada sumbu X sedangkan frekuensi kumulatif kurang dari atau frekuensi kumulatif lebih dari diletakkan pada sumbu Y. Apabila titik-titik yang diperlukan dihubungkan, maka terbentuk kurva yang disebut ogive. Ada dua macam ogive, yaitu ogive naik dan ogive turun. Ogive naik apabila grafik disusun berdasarkan distribusi frekuensi kumulatif kurang dari. Sedangkan ogive turun apabila berdasarkan distribusi frekuensi kumulatif lebih dari.nOgive naik dan ogive turun data di atas adalah sebagai berikut.

SUMBER:

http://www.4skripsi.com/metodologi-penelitian/populasi-dan-sampel.html#ixzz1nyZp3IYB

http://teorionline.wordpress.com/2010/01/24/populasi-dan-sampel/

http://www.4skripsi.com/metodologi-penelitian/populasi-dan-sampel.html#axzz1nyWTuLkt

Metode PI Ekonomi: Pengambilan Sampe

http://matematika-ipa.com/statistika-diagram-batang-diagram-garis-mean-median-modus-matematika/

 

Regresi Multilinier, Koefisien Regresi dan korelasi, Sifat penaksiran kuadrat terkecil, Inferensi mengenai koefisien regresi, Prediksi

Regresi Linear Multiple dengan p-variabel

Model regresi linear multiple dengan p variable terdiri dari variabel tak bebas Y dan variable bebas X2, X3, …, Xp dapat ditulis dalam sebuah persamaan sbb :

dimana :

Model diatas disebut dengan model populasi, sedangkan model sampelnya adalah :

dimana :

Persamaan diatas disebut persamaan regresi linear multipel . Dikatakan linear karena pangkat dari semua koefisien variabelnya adalah satu sehingga nilai prediksi dari Y akan membentuk suatu garis lurus (linear) dan dikatakan multipel karena variabel bebasnya lebih dari satu.

 

Koefisien Regresi dan Korelasi

Koefisien Regresi adalah suatu yang penting dalam Analisa Regresi. koefisien regresi berfungsi untuk membentuk persamaan  model regresi pada suatu masalah yang diteliti.

Koefien regresi dihitung dengan persamaan-persamaan tertentu dan sebaiknya menggunakan tabel pembantu untuk memudahkan perhitungan persamaannya. Pada prinsipnya ada dua cara untuk menghitung koefisien regresi yaitu dengan cara perhitungan matematic biasa atau dengan menggunakan software statistik (SPSS), tetapi kedua metode tersebut harus mengasilkan nilai yang sama atau setidaknya nilai yang mendekati sama.

Sifat r adalah

  1. r dapat posotif atau negatif
  2. Terletak antara batas -1 dan +1 yaitu -1≤ r ≤1
  3. Sifat dasarnya simetris
  4. Tidak tergantung pada titik asal dan skala
  5. Kalau X dan Y bebas secara statistik, koefisien korelasi antara mereka adalah nol.
  6. r hanyalah suatu ukuran hubungan linear atau ketergantungan linear saja.

koefisien regresi

 

Sifat Penaksiran Kuadrat Terkecil

Teorema Gauss – Markov

Koefisien Determinasi r2 – Suatu Ukuran Kebaikan – Suai (Goodness of Fit)

Koefisien determinasi (r2) merupakan suatu ukuran yang menyatakan seberapa baik garis regresi sampel mencocokkan data. Untuk menghitung r2 dalam bentuk simpangan:  yi= ŷi = ei  Jika dikuadratkan pada kedua sisis dan menjumlahkan untuk semua sampel, diperoleh:

∑yi2 = ∑ŷi2 + ∑ei2 + 2 ∑ŷiei

= ∑ŷi2 + ∑ei2

= β12 ∑ xi2 + ∑ei2

Total variansi Y sebenarnya di sekitar rata-rata sampelnya disebut jumlah kuadrat total (total sum of squares / TSS). Yaitu:  ∑yi2 = ∑(Yi – Ŷi2) ESS ( Explained sum of squares) adalah jumlah kuadrat yang dijelaskan.

Regression Sum of Square

(SSR) = yang menyatakan variasi nilai Y yang ditaksir disekitar rata –ratanya. Sedangkan Error Sum Square (SSE) = e’e = ( y – X3)’ (y-X

β) dan Total Sum of Square (SST) = . SST menyatakan total variasi nilai Y sebenarnya di sekitar rata-rata sampelnya. Hubungan SSR, SSE dan SST adalah SST = SSR + SSE. Hubungan ini menunjukkan bahwa total variasi dalam nilai Y yang diobservasi di sekitar nilai rata-ratanya dapat dipisahkan ke dalam dua bagian. Sebagian yang diakibatkan oleh garis regresi dan bagian lain diakibatkan oleh kekuatan random karena tidak semua pengamatan Y yang sebenarnya terletak pada garis yang dicocokkan.

Sifat r2 bisa dicatat:

  1. r2 merupakan besaran nonnegatif
  2. Batasnya adalah 0≤ r2 ≤ 1. suatu r2 sebesar 1 berarti suatu kecocokan sempurna, sedangkan r2 bernilai 0 berarti tidak ada hubungan antara variabel yak bebeas dengan variabel yang menjelaskan.

Secara lebih cepat, r2 bisa didiapat dengan rumus:

R2 = β12 Jika besarnya sampel N atau N – 1 kalau ukuran sampelnya kecil, maka diperoleh:

R2 = β12 dimana S dan S secara berurutan adalah varians sampel Y dan X

 

Inferensi mengenai koefisien regresi

Salah satu cara untuk memeriksa apakah taksiran regresi yang diperoleh dari data sampel baik atau tidak adalah dengan melakukan analisis residual.

Residual : selisih nilai antara nilai pengamatan

dengan nilai taksirannya

Residual :

 

Prediksi

Peramalan dapat diartikan sebagai penggunaan data masa lalu dari sebuah variabel  atau  kumpulan  variabel  untuk  mengestimasikan  nilai  dimasa  yang  akan datang.Untuk  membuat  peramalan  dimulai  dengan  mengeksplorasi  data  dari waktu yang lalu dengan mengembangkan pola data tersebut.

Metode Peramalan dibagi menjadi :

  • Metode Kualitatif (Non-statistik)

Metode  ini  digunakan  dimana  tidak  ada  model  matematik,  biasanya dikarenakan data yang ada tidak cukup representatif untuk meramalkan masa yang akan datang. Peramalan ini menggunakan pertimbangan pendapat para pakar yang ahli dibidangnya.Teknik model peramalan kualitatif berusaha untuk menggunakan penilaian  (judgement)  atau  faktor  subyektif  individu  dalam  peramalan.Model  ini sangat  berguna  terutama  ketika  faktor  subyektif  diharapkan  sangat  penting  atau ketika data kuantitatif yang akurat sulit didapatkan.

Analisis  kualitatif  dapat  menjadi  teknik  peramalan  yang  sangat  berguna  jika memungkinkan  pengumpulan  dan  organisasi  yang  sistematis  untuk  data  yang diturunkan  dari  opini  yang  tidak  terbias  dan  terinformasi  tetapi,  metode-metode kualitatif dapat memberikan hasil yang membias ketika beberapa individu tertentu mendominasi proses peramalan melalui reputasi, kekuatan kepribadian, atau posisi stategis dalam organisasi.

  • Metode Kuantitatif (Statistik)

Teknik peramalan kuantitatif sangat beragam, dikembangkan dari berbagai disiplin  ilmu  dan  untuk  berbagai  maksud.  Setiap  teknik  yang  akan  dipilih memiliki  sifat,  ketepatan,  tingkat  kesulitan  dan  biaya  tersendiri  yang  harus dipertimbangkan. Makridakis, Wheelwright dan McGee (1992) menjelaskan bahwa pada umumnya peramalan kuantitatif dapat diterapkan bila terdapat tiga kondisi berikut
1. Tersedia informasi tentang masa lalu (data historis).

2. Informasi tersebut dapat dikuantitatifkan dalam bentuk numeric.

3. Dapat  diasumsikan  bahwa  beberapa  aspek  pola  masa  lalu  akan  terus berlanjut di masa mendatang.

 

Sumber

http://elearning.gunadarma.ac.id/docmodul/statistika_probilitas/bab2regresi_dan_korelasi_sederhana.pdf

http://agussukoco.dosen.narotama.ac.id/files/2012/04/MENGHITUNG-KOEFISIEN-DAN-MODEL-0PERSAMAAN-REGRESI-LINIER-BERGANDA.pdf

http://agussukoco.dosen.narotama.ac.id/2012/04/17/koefisien-regresi-linier-berganda/

http://statzzz.blogspot.com/2008/09/analisis-regresi-linear-multiple-1.html

UJI HIPOTESIS

Uji Hipotesis adalah metode pengambilan keputusan yang didasarkan dari analisa data, baik dari percobaan yang terkontrol, maupun dari observasi (tidak terkontrol). Dalam statistik sebuah hasil bisa dikatakan signifikan secara statistik jika kejadian tersebut hampir tidak mungkin disebapkan oleh faktor yang kebetulan, sesuai dengan batas probabilitas yang sudah ditentukan sebelumnya.Uji hipotesis kadang disebut juga “konfirmasi analisa data”. Keputusan dari uji hipotesis hampir selalu dibuat berdasarkan pengujian hipotesis nol. Ini adalah pengujian untuk menjawab pertanyaan yang mengasumsikan hipotesis nol adalah benar. Daerah kritis (en= Critical Region) dari uji hipotesis adalah serangkaian hasil yang bisa menolak hipotesis nol, untuk menerima hipotesis alternatif. Daerah kritisini biasanya di simbolkan dengan huruf C.

Banyak peneliti yang melakukan berbagai penelitian sehingga banyak menetapkan suatu teori yang sifatnya sementara, dimana kebenaranya perlu diuji. Inilah yang disebut hipotesis peneliti, peneliti tersebut akan berusaha mengumpulkan data yang akan mendukung pada hipotesisnya. Hal itu dimaksudkan agar hipotesisnya terbukti atau tidak. Hipotesis merupakan elemen penting dalam penelitian ilmiah, khususnya penelitian kuantitatif. Terdapat tiga alasan utama yang mendukung pandangan ini, di antaranya:

  1. Hipotesis  dapat  dikatakan  sebagai  piranti  kerja  teori.  Hipotesis  ini  dapat  dilihat  dari  teori  yang  digunakan  untuk  menjelaskan  permasalahan  yang  akan  diteliti.  Misalnya,  sebab dan akibat dari konflik dapat dijelaskan melalui teori mengenai konflik.
  2. Hipotesis  dapat  diuji  dan  ditunjukkan  kemungkinan  benar  atau  tidak  benar  atau  di  falsifikasi.
  3. Hipotesis  adalah  alat  yang  besar  dayanya  untuk  memajukan  pengetahuan  karena  membuat ilmuwan dapat keluar dari dirinya sendiri. Artinya, hipotesis disusun dan diuji  untuk  menunjukkan  benar  atau  salahnya  dengan  cara  terbebas  dari  nilai  dan  pendapat peneliti yang menyusun dan mengujinya.

Fungsi penting hipotesis di dalam penelitian, yaitu:

  1. Untuk menguji teori,
  2. Mendorong munculnya teori,
  3. Menerangkan fenomena sosial,
  4. Sebagai pedoman untuk mengarahkan penelitian,
  5. Memberikan kerangka untuk menyusun kesimpulan yang akan dihasilkan.

Menurut bentuknya, Hipotesis  dibagi menjadi tiga:

  1. Hipotesis penelitian / kerja: Hipotesis penelitian merupakan anggapan dasar peneliti terhadap suatu masalah yang sedang dikaji.

Dalam Hipotesis ini peneliti mengaggap benar Hipotesisnya yang kemudian akan dibuktikan secara empiris melalui pengujian Hipotesis dengan mempergunakan data yang diperolehnya selama melakukan penelitian.

  1. Hipotesis operasional: Hipotesis operasional merupakan Hipotesis yang bersifat obyektif. Artinya peneliti merumuskan Hipotesis tidak semata-mata berdasarkan anggapan dasarnya, tetapi  juga berdasarkan obyektifitasnya, bahwa Hipotesis penelitian yang dibuat belum tentu benar setelah diuji dengan menggunakan data yang ada. Untuk itu peneliti memerlukan Hipotesis pembanding yang bersifat obyektif dan netral atau secara teknis disebut Hipotesis nol (H0). H0 digunakan untuk memberikan keseimbangan pada Hipotesis penelitian karena peneliti meyakini dalam pengujian nanti benar atau salahnya Hipotesis penelitian tergantung dari bukti-bukti yang diperolehnya selama melakukan penelitian.
  2. Hipotesis statistik: Hipotesis statistik merupakan jenis Hipotesis yang dirumuskan dalam bentuk notasi statistik. Hipotesis ini dirumuskan berdasarkan pengamatan peneliti terhadap populasi dalam bentuk angka-angka (kuantitatif).

Hipotesis Statistik

Hipotesis  statistik,  atau  hipotesis  adalah  suatu  dugaan  mengenai  satu  atau  lebih populasi.  Definisi  ini  dapat  diartikan  sebagai  pernyataan  atau  dugaan  mengenai  ukuran  (misalnya rerata atau variansi) yang ada disatu atau lebih populasi.  Dari  contoh  di  muka,  misalkan  peneliti  bidang  kedokteran  tersebut  berdasarkan  teori  tertentu,  menduga  bahwa  vaksin  yang  dia  temukan  (misalnya  vaksin  A)  lebih  baik  dari  misalnya  vaksin  B.  Pernyataan  bahwa  vaksin  A  lebih  baik  dari  pada  vaksin  B  adalah  suatu hipotesis.  Indikatornya  lebih  baiknya  vaksin  yang  satu  dengan  vaksin  yang  lain  harus ditentukan, misalkan berdasarkan indikatornya adalah cepatnya sembuhnya pasien.

1. Hipotesis Nol dan Hipotesis Alternatif

Hipotesis  nol  adalah  hipotesis  yang  menyatakan  tidak  adanya  perbedaan  atau  tidak adanya  korelasi  (hubungan).  Sebaliknya  hipotesis  alternative  adalah  hipotesis  yang menyatakan perbedaan  atau adanya korelasi. Hipotesis nol dilambangkan dengan Ho Hipotesis alternative dilambangkan dengan H1. Penolakan hipotesis nol mengakibatkan penerimaan hipotesis alternative, dandan sebaliknya. Terdapat tiga macam pasangan hipotesis  (Ho dan H1.) , yang di sebut tipe A, tipe B, tipe C. Sebagai contoh misalkan hipotesis mengenai suatu rerata, maka rumusan ketiga tipe tersebut adalah sebagai berikut:

2. Prosedur Uji Hipotesis

Pada umumnya uji hipotesis dilakukan dengan  langkah-lanhkah sebagai berikut:

  1. Rumuskan Hᾀ dan H1. Walaupun  yang  ditulis  lebih  dulu  adalah  H0  namun  disarankan  agar  para  peneliti lebih dulu memikirkan H1 untuk penelitianya. Setelah H1 terumuskan baru peneliti tinggal  menegasikan  (melawankan)  pernyataan  yang  diperoleh  H1  untuk mendapatkan  H0.
  2. Tentukan taraf signifikansi, yaitu  α yang akan dipakai dalam uji hipotesis. Besarnya α yang diambil tergantung kepada urgensi penelitian yang dilakukan.
  3. Memilih  statistic  uji  yang  cocok  untuk  menguji  hipotesis  yang  telah dirumuskan. Pemilihan  statistic  ditentukan  oleh  beberapa  hal,  misalkan  diketahui  atau  tidaknya variansi-variansi populasi dan sama atau tidaknya variansi-variansi populasi.
  4. Hitunglah  nilai  statistic  uji  berdasarkan  data  observasi  (amatan)  yang diperoleh dari sampel.
  5.  Tentukan  nilai  kritis    (NK)  dan  daerah  kritis  (DK)  berdasarkan  tingkat signifikansi yang telah ditetapkan.
  6. Tentukan keputusan uji HO, yaitu H1 ditolak atau diterima. Penetapan keputusan ini berdasarkan melihat nilai statistic uji amatan berada di DK atau tidak. Jika nilai statistic uji berada di DK, maka H0 ditolak. Sebaliknya jika nilai statistic uji amatan tidak berada di DK maka H0 diterima.
  7. Tulislah kesimpulan berdasarkan keputusan uji yang telah diperoleh.

3. Arah Pengujian Hipotesis

Pengujian Hipotesis dapat dilakukan secara :

1)      Uji Satu Arah

Pengajuan  dan  dalam  uji satu arah adalah sebagai berikut:

Ho  : ditulis dalam bentuk persamaan (menggunakan tanda =)

H1   : ditulis dalam bentuk lebih besar (>) atau lebih kecil (<)

2)      Uji Dua Arah

Pengajuan  dan  dalam uji dua arah adalah sebagai berikut :

Ho    : ditulis dalam bentuk persamaan (menggunakan tanda =)

H1    : ditulis dengan menggunakan tanda

4. Tipe Kesalahan

1.Kesalahan Tipe I

Kesalahan yang terjadi ketika peneliti menolak hipoteisi nol (H0), padahal hipotesis tersebut benar.

2.Kesalahan Tipe II

Kesalahan  yang  terjadi  ketika  peneliti  menerima  hipoteisi  nol  (H0),  padahal hipotesis tersebut salah.

SUMBER:

http://blog.binadarma.ac.id/dedi1968/wp-content/uploads/2010/09/1-kuliah-05_hipotesis.ppt

http://umpwr.ac.id/elearning/centerump/document/goto/index.php?url=%2Fujihipotesis2011.pdf&cidReq=MAT_004

Pemilihan Model Regresi, Pendekatan Melalui Analisis Variansi, Pengujian Kelinearan Regresi

Metode pemilihan terbaik pada model regresi

Beberapa metode pemilihan model regresi terbaik dapat dijelaskan sebagai berikut :

1. All possible regression

Tiap-tiap persamaan regresi dianalisis menurut kriteria tertentu, beberapa kriteria diantaranya adalah sebagai berikut:

a. Nilai R-square

Langkah-langkahnya adalah sebagai berikut :

1. Mengelompokkan persamaan-persamaan regresi kedalam k + 1 kelompok, dengan k = jumlah variabel bebasnya

2. Menggunakan persamaan regresi dalam setiap kelompok menurut besarnya R-square yang dicapai

3. Memeriksa persamaan regresi urutan pertama dalam tiap kelompok dan melihat apakah ada suatu pola peubah yang konsisten dalam persamaan tersebut

b. Nilai S-Square

Dalam jumlah pengamatan yang besar, evaluasi terhadap MSE untuk setiap kelompok seringkali menunjukkan titik pemisah yang terbaik bagi banyaknya variabel yang sebaiknya dimasukkan dalam regresi. Jika jumlah variabel yang potensial cukup besar, begitupula untuk jumlah pengamatannya juga besar, maka distribusi dari R-square akan sangat informative.

c. Statistik Cp

Cp = SSEp/S2-(n-2p), dengan p parameter. Tingginya Cp disetiap titik sebaran juga penting sebab hal ini merupakan dugaan bagi SSE. Semakin banyak suku yang disertakan kedalam model untuk menurunkan SSEp, biasanya Cp akan semakin tinggi. Model “terbaik” ditentukan setelah memeriksa sebaran Cp. Yang dicari adalah persamaan regresi dengan nilai Cp rendah yang kira-kira sama dengan p

2. Best subset regression

Metode ini dapat memprediksi kemungkinan regresi dalam menentukan himpunan bagian “k terbaik”. Tiga kriteria dapat digunakan untuk menentukan himpunan bagian “k terbaik” diantaranya nilai R-square maksimum, nilai R-square terkoreksi maksimum dan statistic Cp mallows. Caranya adalah menentukan k kemungkinan regresi yang bisa dibuat kemudian dilihat ketiga kriteria tersebut. Nilai Cp yang rendah, R-square yang tinggi dan R-square tterkoreksi yang semakin meningkat secara signifikan merupakan kriteria pemilihan model terbaik

3. The backward elimination procedure

Penggunaan metode ini dapat dilakukan hal-hal berikut ini :

a. Menghitung persamaan regresi yang mengandung semua variabel predictor

b. Menghitung nilai F-parsial untuk setiap variabel predictor, seolah-olah variabel tersebut merupakan variabel terakhir yang dimasukkan kedalam persamaan regresi

c. Membandingkan nilai F parsial terendah (FL) dengan F dari tabel (F0)

Jika (FL) (F0) maka persamaan ini layak untuk dipilih

4. The forward elimination procedure

Variabel perdiktor yang pertama kali masuk ke dalam model adalah variabel yang mempunyai korelasi tertinggi dan significant dengan variabel respon, variabel yang masuk kedua adalah variabel yang korelasinya dengan variabel respon adalah tertinggi kedua dan masih significant, dilakukan terus menerus sampai tidak ada lagi variabel prediktor yang significant

5. The stepwise regression procedure

Penggunaan metode ini dapat dilakukan hal-hal berikut ini :

1. Menghitung korelasi antara variabel predictor dengan responnya. Sebagai variabel yang pertama kali dimasukkan kedalam regresi, missal X1 adalah yang paling berkorelasi terhadap respon.

2. Regresi variabel respon dengan X yang dipilih tadi. Jika X signifikan maka pertahankan

3. Menghitung korelasi parsial semua variabel predictor diluar regresi dengan variabel respon. Sebagai variabel kedua yang akan dimasukkan kedalam model, dipilih yang memiliki korelasi parsial tertinggi. Misalkan X2

4. Dengan nilai X1 dan X2 yang dimasukkan kedalam model, periksa signifikansi dan R2 dalam model. Jika sesuai dengan kriteria, maka pertahankan jika tidak maka dikeluarkan dan kembali ke prosedur (3) hingga didapatkan model terbaik

Pendekatan  analisis  varians 

Pendekatan  analisis  varians  satu  arah  model  tetap  dengan  taraf  faktor  besar adalah  suatu  pendekatan  terhadap  distribusi  normal  yang  dapat  dijadikan  metode alternatif  untuk  mendapatkan  titik  kritis  dan  kuasa  uji  pada  analisis  varians  satu  arah model  tetap  dengan  taraf  faktor  besar.  Seperti  telah  diketahui  bahwa  apabila  ukuran suatu  sampel  itu  besar,  maka  distribusi  dari  sampell  tersebut  mendekati  distribusi normal.  Berikut  ini  akan  dijelaskan mengenai  metode  pendekatan analisis  varians  satu arah model tetap dengan taraf faktor besar untuk ukuran sampel sama.

  • Model Matematis

  • Pengujian Hipotesis

Langkah langkah sebagi berikut:

a. Perumusan hipotesa

b. Besaran-besaran yang diperlukan

Semua factor taraf yang tersedia dijadikansebagai perlakuan dengan ukuran sample pada tiap perlakuan adalah sama.

c. Statistik uji

Statistik uji yang digunakan adalahd. Kriteria pengujian

Uji Kelinieran Regresi
Uji kelinieran regresi adalah menguji apakah model linier yang telah diambil itu betul- betul cocok dengan keadaannya ataukah tidak cocok dengan keadaannya. Jika hasil pengujian mengatakan model linier kurang cocok maka selayaknya harus diambil model lain yang non linier. Agar supaya JKres dapat dipecah , maka kita perlu menghitung jumlah kuadrat- kuadrat kekeliruan eksperimen yang disingkat dengan JK(E)
Dengan tanda jumlah yang pertama diambil untuk semua harga X. jumlah kuadrat – kuadrat untuk tuna cocok model linier(JK(TC)), didapat dengan mengurangi JKres oleh JK(E). dari daftar analisis varians untuk uji kelinieran regresi didapatkan dua hasil yaitu:
a. F = S reg / S2res untuk uji independent
b. F = S Tc / S2e yang akan dipakai untuk menguji tuna cocok regresi linier.

Sumber:

http://statistikindustri.blogspot.com/2008/05/regresi-dan-korelasi.html

http://blog.sunan-ampel.ac.id/ummiy/?p=87

http://file.upi.edu/Direktori/FPMIPA/JUR._PEND._MATEMATIKA/198108142005012-FITRIANI_AGUSTINA/Analisis_Varians_Satu_Arah_Model_Tetap_Taraf_Faktor_yang_Besar.pdf

Buckling Stress

Dalam teori sebuah benda yang memiliki gaya tekan langsung dalam arah aksial, dan merupakan material yang homogen tidak boleh goyah kecuali gaya lateral kecil adalah tempat di atasnya. Namun, dalam kehidupan nyata kolom masih gesper bahkan jika kita percaya di atas dilaksanakan. Alasan untuk ini adalah karena bahan yang tidak sempurna homogen, dan itu sangat tidak mungkin sebuah gaya aksial yang sempurna adalah tempat pada bagian.

Pada dasarnya, tekuk terjadi pada kolom akibat ketidakstabilan. Ini berarti bahwa kolom tidak selalu goyah kekuatan yang akan sesuai dengan tegangan luluh. Sebaliknya akan goyah apa yang disebut gaya tekuk. Untuk melihat hal ini dalam kehidupan nyata, mengambil kartu kredit atau sesuatu yang serupa dan perlahan-lahan menerapkan gaya tekan untuk itu. Anda akan melihat pada kekuatan tertentu itu akan mulai goyah.

Tekuk akan lebih parah kolom sempit panjang maka dalam kolom tebal pendek. Selain itu, tergantung pada bahan yang digunakan dan bagaimana mereka rapuh, menghasilkan atau pecah dapat terjadi ketika tekuk terjadi. Sementara dalam kasus lain, kolom sempit sangat panjang struktur akan kembali ke kondisi semula jika beban dilepaskan.

Tabel berikut memberikan persamaan untuk menghitung kekuatan tekuk untuk kondisi tertentu.

Untuk menurunkan tegangan pada beban kritis yang akan menyebabkan buckling persamaan 1 akan digunakan.

Tetapan Euler

Pertimbangkan kolom hanya didukung lama di bawah F beban aksial eksternal, seperti yang ditunjukkan pada gambar di sebelah kiri. Beban tekuk kritis (batas stabilitas elastis) diberikan oleh rumus Euler,

di mana E adalah modulus Young dari bahan kolom, I adalah momen inersia dari daerah penampang, dan L adalah panjang kolom.

Perhatikan bahwa beban tekuk kritis menurun dengan kuadrat dari panjang kolom.

perpanjangan rumus  Euler

Secara umum, kolom tidak selalu mengakhiri dengan ujung-hanya didukung. Oleh karena itu, rumus untuk beban tekuk kritis harus digeneralisasi.
Persamaan umum mengambil bentuk formula Euler,

dimana panjang efektif dari Leff kolom tergantung pada kondisi batas. Beberapa kondisi batas umum ditunjukkan dalam skema berikut:

Tabel berikut berisi daftar panjang yang efektif untuk kolom mengakhiri dengan berbagai kombinasi kondisi batas. Juga tercantum adalah representasi matematis dari bentuk modus lemas.

Dalam tabel, L merupakan panjang sebenarnya dari kolom. Panjang efektif sering digunakan dalam desain kolom oleh para sarjana teknik.

SUMBER:

http://sbainvent.com/strength_of_materials/buckling.php#.UFQG9aDGw4U

http://www.efunda.com/formulae/solid_mechanics/columns/inelastic.cfm