REGRESI

Regresi Sederhana untuk Persamaan Linier

Bentuk umum dari persamaan linier, dapat dituliskan sebagai  berikut:

Y = ax + b

dengan:

a  =  kelandaian (slope) kurva garis lurus

b  =  perpotongan (intercept) kurva dengan ‘ordinat’  atau sumbu tegak

Regresi yang dimaksudkan disini adalah: pencarian harga- harga tetapan  a dan  b berdasarkan deretan data yang ada  (jumlah atau pasangan data x-y sebanyak N buah).  Sebagai contoh, di bawah ini diberikan 1 set data (x-y) sebanyak 7 buah:

Hasil pengaluran kurva (plotting) titik-titik tersebut di atas dapat dilihat pada Gb. 1 di bawah ini.

Hasil pengaluran kurva (plotting) titik-titik tersebut di atas dapat dilihat pada Gb. 1 di bawah ini.

Persyaratan   yang   harus   dipenuhi   untuk   dapat   menghitung  a dan  b  adalah   minimisasi   turunan persamaan   di   atas   terhadap tetapan    a   dan  b   (dalam    hal  ini, a   dan b   dianggap   sebagai variabel-variabel      semu),     sehingga membentuk       persamaan – persamaan berikut:

Untuk lebih jelasnya, kronologis  penurunan kedua persamaan diatas adalah sebagai berikut:

Kedua persamaan (A) dan (B) seperti di atas adalah suatu sistem persamaan aljabar linier (SPAL), bila disusun-ulang sebagi berikut:

yang identik dengan persamaan matriks  [A]. [x] =[B]. Solusi SPAL tersebut relatif sangat mudah dilakukan dengan metode analitis. Dengan menggunakan  aturan Cramer, solusi konstanta-konstanta a dan b adalah:

Karena hanya membentuk persamaan matriks berorder 2, maka determinan-determinan matriks di atas dapat langsung dihitung, dengan rincian sebagai berikut:

sehingga, diperoleh solusi harga-harga a dan b:

Regresi Eksponensial

 

Regresi Eksponensial digunakan untuk menentukan fungsi eksponensial yang paling sesuai dengan kumpulan titik data (xn,yn) yang diketahui.

Contoh Penyelesaian Regresi Eksponensial

Carilah persamaan kurva eksponensial jika diketahui data untuk x dan y sebagai berikut:

Algoritma Regresi Eksponensial

1. Tentukan N titik data yang diketahui dalam (xi,yi) untuk i = 1,2,3,..,N

2. Ubah nilai y menjadi z dengan z = ln y

3. Hitung nilai a dan b dengan menggunakan formulasi dari regresi linier (seperti mencari m dan c )

4. Tampilkan fungsi  eksponensial

5. Hitung fungsi eksponensial tersebut dalam range x dan step dx tertentu

6. Tampilkan hasil tabel (xn,yn) dari hasil fungsi eksponensial tersebut

Regresi Polynomial

 

Regresi Polynomial digunakan untuk menentukan fungsi polinomial yang paling sesuai dengan kumpulan titik data (xn,yn) yang diketahui.

Contoh Penyelesaian Regresi Polinomial

Carilah persamaan kurva polinomial jika diketahui data untuk x dan y sebagai berikut:

Algoritma Regresi Polinomial

1. Tentukan N titik data yang diketahui dalam (xi,yi) untuk i = 1,2,3,..,N

2. Hitung nilai-nilai yang berhubungan dengan jumlahan data untuk mengisi matrik normal

3. Hitung nilai koefisien a0, a1,a2 dengan menggunakan eliminasi Gauss/Gauss-Jordan

4. Tampilkan fungsi  polynomial y = a0 + a1x + a2x2 + … + anxn

5. Hitung fungsi polinomial tersebut dalam range x dan step  dx tertentu

6. Tampilkan hasil tabel (xn,yn) dari hasil fungsi polynomial tersebut

Regresi Persamaan Parabola atau Persamaan Kuadrat

Persamaan Parabola atau Persamaan Kuadrat mempunyai  bentuk umum yang dapat dituliskan sebagai berikut:

y = px2 + qx + r

Regresi yang dimaksudkan disini adalah: pencarian harga-harga tetapan  p,  q dan  r berdasarkan set data yang diberikan (ingat: jumlah atau pasangan data x-y sebanyak N buah !).

Persamaan sebaran (S) yang menyatakan sesatan terdistribusi  dari persamaan linier tersebut dinyatakan sebagai:

S = Ʃ  (y – px2 – qx – r)2

Persyaratan yang harus dipenuhi untuk dapat menghitung p, q dan  r adalah minimisasi turunan persamaan di atas terhadap tetapan  p  q dan  r (dalam hal ini,  p,  q dan  r dianggap sebagai variabel-variabel semu), sehingga membentuk persamaan-persamaan minimisasi berikut:

Tahapan penurunan ketiga persamaan-persamaan di atas terhadap p, q, dan r adalah sebagai berikut:

Seperti halnya pada regresi persamaan linier, ketiga persamaan (E), (F), dan (G) di atas juga membentuk suatu sistem persamaan aljabar linier (SPAL) dengan oreder 3, bila disusun-ulang sebagai berikut:

Solusi SPAL di atas dapat dilakukan melalui 2 cara, yaitu: (a). analitis (aljabar) dan (b).  numeris. Berbagai solusi SPAL (dengan menggunakan metode numeris) telah dijelaskan pada modul-modul pelajaran terdahulu. Sebagai catatan, determinan dari matriks bujur-sangkar dengan  rank 3 dapat dihitung sebagai berikut:

Dengan menggunakan metode analitis, sebenarnya SPAL di atas masih relatif mudah diselesaikan, yaitu dengan menggunakan  aturan Cramer untuk mencari solusi konstanta atau parameter-parameter p, q dan r.

Berdasarkan catatan tentang determinan matriks berorder 3 seperti di atas, maka determinan-determinan matriks di atas berturut-turut adalah sebagai berikut:

SUMBER:

http://gesaf.files.wordpress.com/2008/11/regresi-linier-dengan-metode-kuadrat-terkecil2.pdf

http://luk.staff.ugm.ac.id/stat/pdf/Regresi.pdf

Advertisements

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s